Deutsche Physikalische Gesellschaft e. V. (DPG)

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E-Verhandlungen 1997
Programm und Abstracts der Sitzung DY 24

•Günter Radons
Institut für Theoretische Physik, Universität Kiel, 24118 Kiel

Es wird aufgezeigt, wie sich die anscheinend disjunkten Gebiete Chaostheorie, Fraktale und die Theorie der diskreten Zufallsbewegungen unter einem gemeinsamen Gesichtspunkt behandeln lassen. Als Konsequenz können Ergebnisse aus einem der Gebiete auf die anderen übertragen werden. Beispiele sind Superpositionen von Multifraktalen [1], die nicht-ergodischen Hidden-Markov-Modelen äquivalent sind, wie sie aus der Zeitreihenanalyse bekannt sind [2], sowie Systeme, die formal durch unendliche Sprachen mit ungeordneter oder geordneter Grammatik charakterisiert sind. Die letzeren geben Anla\ß zu dynamischen Lokalisierungsphänomenen [3] oder zu Phasenübergängen im thermodynamischen Formalismus [4].

[1] G. Radons, Phys. Rev. Lett. 75, 2518 (1995), [2] V. Breuer and G. Radons, Phys. Rev. E 53, 3982 (1996), [3] G. Radons, Phys. Rev. Lett. 77, 4748 (1996), [4] G. Radons, Phys. Rev. Lett. 75, 4719 (1995)

•Th. Klinker und Th. Holzhüter
Fachhochschule Hamburg, Fachbereich Elektrotechnik und Informatik

Relais-Systeme, d.h. Regelkreise mit schaltenden Elementen, stellen einen in der Praxis häufig vorkommenden Fall dar. Sie werden mathematisch beschrieben durch Differentialgleichungen, die unstetige, im Fall von schaltenden Elementen mit Hysterese sogar mehrdeutige Funktionen enthalten. Darin unterscheiden sich derartige Systeme wesentlich von den Sytemen, bei denen bislang üblicherweise chaotisches Verhalten untersucht wurde. Ein spezieller Regelkreis dieser Art, der auch chaotisches Verhalten zeigt, wird hier betrachtet. Bemerkenswert ist, daß für dieses System die Poincaré-Abbildung, also die Abbildung eines Schaltpunktes auf den nächsten analytisch berechnet werden kann. Diese Abbildungen (auch Lemeré-Diagramme genannt) zeigen genau, in welchen Parameterbereichen sich das System chaotisch verhält und wie sich der chaotische Attraktor und sein Einzugsbereich bei Variation des Dämpfungsparameters ändern. In den chaotischen Attraktor eingebettet sind unendlich viele instabile limit cycles, die mit der Tsypkin-Methode berechnet wurden. Der Regelkreis wurde aber auch numerisch untersucht, da sich z.B. höhere Iterierte der Poincaré-Abbildung nur so berechnen lassen. Dazu mußten die üblichen numerischen Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen für die spezielle Anwendung auf Systeme mit schaltenden Elementen genau geprüft und teilweise modifiziert werden.

•Jens Uwe Noeckel
Max-Planck-Institut f. Physik komplexer Systeme, Bayreuther Str 40,01187 Dresdenn

Optical microcavity resonators of extremely high quality can be obtained by exploiting the "`Whispering-Gallery"' modes of convex dielectric spheroids or cylinders. In the ray picture, their long lifetimes are due to total internal reflection, which in rotationally symmetric resonators is violated only by an exponentially small evanescent leakage. For sufficiently strong shape deformation, however, the dominant escape mechanism is classical ray diffusion in phase space, as a consequence of the transition to chaos occuring in generic convex billiards. A semiclassical quantization that relies on a slow diffusion in action for the relevant modes allows us to predict that resonance lifetimes become frequency- independent at large (but convex) shape distortions. This is confirmed in numerical solutions of the wave equation for dielectric cylinders with asymmetric cross-sections. Also confirmed is the classically predicted directionality of emission from the resonant states. The intensity pattern is highly anisotropic, but universal for all whispering-gallery modes, depending sensitively on the classical phase space structure. The effects of dynamical localization and chaos-assisted tunneling are observed.

•Bernd Esser¹ und Holger Schanz^2
1Institut für Physik, Humboldt-Universität zu Berlin, 10 099 Berlin
²Max-Planck-Institut für Physik komplexer Systeme, Bayreuther Strasse 40, 01 187 Dresden

Die Dynamik der gemischt klassisch-quantenmechanischen Beschreibungsebene wird mit dem Verhalten des vollständig quantisierten elektronisch-vibronisch gekoppelten Dimers im adiabatischen Parameterbereich verglichen. In der gemischten Beschreibung besitzt dieses System komplexe Dynamik in der Form von regulären und chaotischen Bereichen. Es wird betrachtet, wie sich die dynamischen Strukturen der gemischten Beschreibung im Verhalten des vollständig quantisierten Systems widerspiegeln. Insbesondere wird die Rolle der nichtadiabatischen Kopplungen und der adiabatischen Referenzoszillatoren in der Formierung der Dynamik analysiert. Das Modell kann Hinweise für das methodische Vorgehen bei anderen Systemen liefern, die entlang einer stufenweisen Quantisierung (dynamische Variante des Born-Oppenheimer Verfahrens) behandelt werden.

•A. Hilgers und C. Beck
Queen Mary and Westfield College, University of London, Mile End Road, London E1 4NS, England

Untersucht wird eine Klasse dynamischer Systeme, die die Bewegung eines Teilchens in einem viskosen Medium unter dem Einfluß einer chaotischen Kick Force beschreibt. Solche Systeme können als eine Erweiterung des Langevin-Ansatzes für Brownsche Bewegung angesehen werden, bei dem die fluktuierende Kraft nicht gaußisches weißes Rauschen, sondern ein nichtlineares dynamisches System ist [1]. Die Dynamik des Rauschens wird z. B. durch die Iterierten von Abbildungen konjugiert zum Bernoulli-Shift (Tschebyscheff-Polynome) bestimmt und durch eine Zeitkonstante t charakterisiert, die angibt, wie sehr der chaotische Prozeß von einem Gaußprozeß abweicht. Für den komplizierten chaotischen Prozeß, den man für t > 0 erhält, wurden die Korrekturen zum Gaußprozeß bestimmt. Dazu wurden zum einen Korrelationsfunktionen höherer Ordnung mit einem graphentheoretischen Verfahren bestimmt, zum anderen eine perturbative Entwicklung der Perron-Frobenius-Gleichung durchgeführt [2].

[1] C. Beck, to appear in Physica A (1996)

[2] C. Beck, J. Stat. Phys. 79, 875 (1995)

•B. Kleinsteuber, S.J. Linz und P. Hänggi
Theoretische Physik I, Institut für Physik, Universität Augsburg, 86135 Augsburg

Im Gegensatz zur sehr bekannten, häufig und ausführlich untersuchten logistischen Abbildung, findet ihre retardierte Version weniger Beachtung. In Lehrbüchern über dynamische Systeme wie z.B.[1], dient dieses, auch delayed logistic equation genannte System lediglich als Standardbeispiel einer zweidimensionalen Differenzengleichung, die eine Neimark-Sacker-Verzweigung zeigt - ein Bifurkationsphänomen, welches der Hopf-Verzweigung in kontinuierlichen Sytemen sehr ähnlich ist. Ausgehend von den wenigen, grundlegenden Arbeiten [2][3] über die Abbildung werden charakteristische Eigenschaften dargestellt und Ergebnisse auf die parametrisch modulierte Gleichung erweitert. Darüberhinaus werden Methoden vorgestellt, auch stochastische Störungen des Parameters analytisch und numerisch untersuchen zu können.Wie sich zeigt, sind mehrere Merkmale der retardierten logistischen Abbildung typisch für eine größere Klasse von zeitverzögerten Systemen.

[1] J.Guckenheimer and P.Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Sytems and Bifurcations of Vectorfields, Springer,1983

[2] J.R.Pounder and T.D.Rogers, Bull. Math, Biol. ,42(4), 551-597, (1989)

[3] D.G.Aronson, et.al., Comm. Math. Phys. 83, 303-354 (1982)

•T. Papenbrock¹, T.H. Seligman² und H.A. Weidenmüller^1
1Max-Planck-Institut für Kernphysik, Postfach 103980, 69029 Heidelberg
²University of Mexico (UNAM), Mexico-City, Mexico

Systems of identical particles with rotational invariance have some low-dimensional subspaces of phase space where certain actions of the two symmetries cancel exactly. Such manifolds may support states of the total quantum system, that are not corresponding simply to scars of periodic orbits on this manifold, and thus constitute a novel extension of the concept of scars.

•Arnulf Latz¹, Henk van Beijeren² und Jay Robert Dorfman^3
1Johannes Gutenberg - Universität, Institut für Physik, D-55099 Mainz
²Institute for Theoretical Physics, University of Utrecht, Postbus 80006, 3508 TA, Utrecht, The Netherlands
³I.P.S.T. and Department of Physics, University of Maryland, College Park, MD, 20742, USA

We calculate all four non-zero Lyapunov exponents for a 3-dimensional, dilute, random Lorentz gas by combining dynamical systems and Boltzmann equation methods. In the presence of an external field and a Gaussian thermostat the Lyapunov exponents, calculated up to second order in the applied field, satisfy a conjugate pairing rule. Agreement of the results obtained here with those of computer simulations of Dellago and Posch is excellent.

•S. Artz, M. Schulz und S. Trimper
Fachbereich Physik, Martin-Luther-Universität Halle, 06099 Halle(Saale)

Nichtlineare Diffusionsgleichungen sind charakteristisch für Systeme deren Partikel neben einer stark repulsiven Wechselwirkung auf kurzreichweitigen Skalen (r » d₀) (z.B. hard-core Wechselwirkung) eine zusätzliche Wechselwirkung über eine Distanz x zeigen, die deutlich über d₀ liegt. Generell ergeben sich dann für die Konzentration dieser Partikel nichtlineare partielle Differentialgleichungen der allgemeinen Form:
¶c /¶t = Ѳ P_m (c) mit einem Polynom P_m m-ten Grades in c. Für die Behandlung solcher Differentialgleichungen sind exakte Lösungen oft sehr hilfreich. Eine erfolgreiche Methode zur Erzeugung solcher Lösungen basiert auf der Bestimmung von Symmetrien der zugrunde liegenden Differentialgleichungen. Damit können sowohl einfache Lösungsklassen erzeugt werden, die sich aus den Punktsymmetrien der nichtlinearen Differentialgleichungen ergeben, als auch kompliziertere Lösungen, die auf (dynamischen) Lie-Bäcklund Symmetrien beruhen. Einige dieser Symmetrieklassen werden bestimmt und zur Konstruktion weiterer exakter Lösungen herangezogen.

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Zuletzt geändert am 21.08.1998

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